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一、声明二、直接证明三、反证法四、数学归纳法五、对证法六、构造法七、分情况讨论
一、声明
本帖持续更新中如有纰漏，望指正！
二、直接证明
原理 通过一系列逻辑推理和推断来证明目标命题成立，从已知的前提出发，依次推导出结论
示例 命题：对任意实数
x
x
x，
x
2
≥
0
x^2 \geq 0
x2≥0。 证明：假设
x
x
x 是任意实数。如果
x
=
0
x=0
x=0，那么
x
2
=
0
x^2=0
x2=0，符合不等式。如果
x
≠
0
x\neq 0
x=0，那么
x
2
x^2
x2 由两个相同的因数乘积得到，因此
x
2
>
0
x^2>0
x2>0。因此，对于任意实数
x
x
x，
x
2
≥
0
x^2 \geq 0
x2≥0 成立。
三、反证法
原理 假设要证明的命题为假，然后推导出一个矛盾结果，从而证明原命题为真。
示例 命题：不存在最大的素数。 证明：假设存在最大的素数
p
p
p。然后考虑
p
!
+
1
p!+1
p!+1，它不会被
2
,
3
,
.
.
.
,
p
2,3,...,p
2,3,...,p 中的任何素数整除。因此，
p
!
+
1
p!+1
p!+1 要么是素数（不等于
p
p
p），或者有一个大于
p
p
p 的素因子，与“
p
p
p 是最大素数”这个假设矛盾。
四、数学归纳法
原理 用于证明所有自然数（通常是正整数）具有某个性质。通过证明基础情况为真，再证明如果对某个特定的自然数命题成立，则它对下一个自然数也成立。
示例 命题：
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}
1+2+3+...+n=2n(n+1)。 证明：首先证明基础情况：当
n
=
1
n=1
n=1 时，左边等于
1
1
1，右边等于
1
(
1
+
1
)
2
\frac{1(1+1)}{2}
21(1+1) 也等于
1
1
1。假设对于某个正整数
k
k
k，命题成立，即
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
k
=
k
(
k
+
1
)
2
1+2+3+...+k = \frac{k(k+1)}{2}
1+2+3+...+k=2k(k+1)。现在考虑
n
=
k
+
1
n=k+1
n=k+1 的情况，有
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
k
+
(
k
+
1
)
=
k
(
k
+
1
)
2
+
(
k
+
1
)
=
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
2
1+2+3+...+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
1+2+3+...+k+(k+1)=2k(k+1)+(k+1)=2(k+1)(k+2)，因此对于任意正整数
n
n
n，命题都成立。
五、对证法
原理 用于证明某个命题的真假。通过同时证明命题的“如果”和“只当”部分，从而得出结论。
示例 命题：一个整数是偶数当且仅当它可以被 2 整除。 证明：要证明这个命题，我们需要证明两个方向：首先证明如果一个整数是偶数，那么它可以被 2 整除；其次证明如果一个整数可以被 2 整除，那么它是偶数。
六、构造法
原理 通过构造一个满足条件的对象来证明命题的存在性，或者构造一个反例来证明命题的不存在性。
示例 命题：存在无穷多的素数。 证明：我们可以使用构造法证明。假设存在有限个素数
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
p_1, p_2, ..., p_n
p1,p2,...,pn。我们考虑
N
=
p
1
⋅
p
2
⋅
.
.
.
⋅
p
n
+
1
N = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1
N=p1⋅p2⋅...⋅pn+1。因为
N
N
N 大于等于
1
1
1，所以它要么是一个素数（不在列表中），要么有一个素因子不在列表中。因此，总是能够找到新的不在列表中的素数，这证明了存在无穷多个素数。
七、分情况讨论
原理 将问题根据不同情况进行分析，并分别进行推导，通常用于处理复杂的情况。
示例 命题：对任意实数
x
x
x，
∣
x
∣
≥
0
|x| \geq 0
∣x∣≥0。 证明：分情况讨论。如果
x
≥
0
x \geq 0
x≥0，那么显然
∣
x
∣
=
x
≥
0
|x| = x \geq 0
∣x∣=x≥0。如果
x
<
0
x < 0
x<0，那么
∣
x
∣
=
−
x
|x| = -x
∣x∣=−x，由于
x
<
0
x < 0
x<0，所以
−
x
>
0
-x > 0
−x>0，因此
∣
x
∣
=
−
x
≥
0
|x| = -x \geq 0
∣x∣=−x≥0。综上所述，对任意实数
x
x
x，
∣
x
∣
≥
0
|x| \geq 0
∣x∣≥0。